반응형 [C++로 배우는 알고리즘과 자료구조 심화] Day 20: 배낭 문제 변형 (Multiple Knapsack, Unbounded Knapsack) 배낭 문제 변형배낭 문제는 여러 변형이 있습니다. 오늘은 두 가지 주요 변형인 다중 배낭 문제(Multiple Knapsack Problem)와 무제한 배낭 문제(Unbounded Knapsack Problem)에 대해 학습하겠습니다.다중 배낭 문제 (Multiple Knapsack Problem)다중 배낭 문제는 여러 개의 배낭이 주어졌을 때, 각 배낭에 아이템을 넣어 최대 가치를 얻는 문제입니다. 이는 기본 배낭 문제의 확장으로, 각 배낭마다 최대 용량이 다를 수 있습니다.문제 정의주어진 배낭의 수 (m)각 배낭의 최대 용량 (W_i)각 아이템의 무게 (w_j)와 가치 (v_j)다중 배낭 문제 구현다음은 C++로 다중 배낭 문제를 해결하는 예제입니다.#include #include #include i.. 2024. 8. 1. [C++로 배우는 알고리즘과 자료구조 심화] Day 18: 트리 동적 계획법 (Tree DP) 트리 동적 계획법 (Tree DP)트리 동적 계획법(Tree DP)은 트리 구조를 가진 문제를 해결하기 위한 효율적인 방법입니다. 이는 주로 트리의 정점이나 간선을 따라 상태를 정의하고, 하위 트리에서의 정보를 이용하여 전체 문제를 해결하는 기법입니다.문제 예시: 트리의 최대 독립 집합 (Maximum Independent Set of a Tree)주어진 트리에서 서로 인접하지 않은 정점의 최대 집합을 찾는 문제입니다. 이는 트리 DP를 사용하여 효율적으로 해결할 수 있습니다.문제 정의주어진 트리의 정점 수 (n)트리의 간선 정보최대 독립 집합의 크기 계산트리 DP 구현다음은 C++로 트리의 최대 독립 집합 문제를 해결하는 예제입니다.#include #include #include const int MA.. 2024. 8. 1. [C++로 배우는 알고리즘과 자료구조 심화] Day 19: 스테이트 컴프레션 동적 계획법 (State Compression DP) 스테이트 컴프레션 동적 계획법 (State Compression DP)스테이트 컴프레션 동적 계획법(State Compression DP)은 상태를 비트마스크로 표현하여 동적 계획법을 적용하는 기법입니다. 이는 주로 부분 집합 문제나 조합 최적화 문제에 사용됩니다. 이 기법은 상태를 효율적으로 관리하고, 메모리 사용량을 줄일 수 있습니다.문제 예시: 여행 계획주어진 도시들을 방문하면서 최소 비용으로 여행 계획을 세우는 문제를 해결하기 위해 스테이트 컴프레션 DP를 사용할 수 있습니다. 여기서 dp[mask][i]는 방문한 도시 집합이 mask이고 현재 i 도시에 위치한 경우의 최소 비용을 의미합니다.스테이트 컴프레션 DP 구현다음은 C++로 스테이트 컴프레션 DP를 사용하여 문제를 해결하는 예제입니다.#.. 2024. 8. 1. [C++로 배우는 알고리즘과 자료구조 심화] Day 16: DP 최적화 기법 (Convex Hull Trick, Divide and Conquer Optimization) DP 최적화 기법동적 계획법(DP)은 많은 문제를 효율적으로 해결할 수 있는 강력한 도구입니다. 그러나 때로는 DP의 시간 복잡도를 더 최적화할 필요가 있습니다. 오늘은 두 가지 주요 DP 최적화 기법에 대해 학습하겠습니다: Convex Hull Trick과 Divide and Conquer Optimization.Convex Hull TrickConvex Hull Trick은 주로 함수 (y = ax + b)의 최솟값이나 최댓값을 효율적으로 찾는 문제에서 사용됩니다. 이 기법은 선형 함수들의 집합을 유지하고, 각 쿼리마다 특정 (x)에서의 최소 (y) 또는 최대 (y)를 빠르게 계산합니다.문제 예시다음과 같은 문제를 고려해봅시다:주어진 선형 함수들의 집합 ({y = a_1x + b_1, y = a_2x.. 2024. 8. 1. [C++로 배우는 알고리즘과 자료구조 심화] Day 17: 비트마스크 동적 계획법 (Bitmask DP) 비트마스크 동적 계획법 (Bitmask DP)비트마스크 동적 계획법은 상태를 이진수로 표현하여 여러 상태를 효율적으로 관리하는 기법입니다. 주로 부분 집합 문제나 조합 최적화 문제에 사용됩니다. 상태를 이진수로 표현하면 각 비트가 특정 원소의 포함 여부를 나타내어 간결하게 표현할 수 있습니다.문제 예시: 외판원 문제 (Traveling Salesman Problem, TSP)외판원 문제는 주어진 도시들을 방문하여 모든 도시를 한 번씩 방문하고 시작점으로 돌아올 때, 이동 비용의 합이 최소가 되도록 하는 경로를 찾는 문제입니다. 비트마스크 DP를 사용하여 해결할 수 있습니다.문제 정의주어진 도시 수 (n)각 도시 간의 거리 (dist[i][j])최소 이동 비용을 계산하여 출력비트마스크 DP 구현다음은 C+.. 2024. 8. 1. [C++로 배우는 알고리즘과 자료구조 심화] Day 14: 중국인의 나머지 정리 (Chinese Remainder Theorem) 중국인의 나머지 정리 (Chinese Remainder Theorem, CRT)중국인의 나머지 정리(CRT)는 서로 다른 소수들의 모듈러 시스템에서 주어진 나머지 값을 갖는 수를 찾는 방법입니다. CRT는 정수론과 암호학, 병렬 컴퓨팅 등 여러 분야에서 활용됩니다.중국인의 나머지 정리다음은 중국인의 나머지 정리의 기본 공식입니다:주어진 서로 다른 정수 (n_1, n_2, \ldots, n_k)가 서로소(즉, (\gcd(n_i, n_j) = 1), (i \ne j))일 때, 다음과 같은 동시 합동식 시스템을 만족하는 유일한 정수 (x)가 존재합니다: [\begin{cases}x \equiv a_1 \pmod{n_1} \x \equiv a_2 \pmod{n_2} \\vdots \x \equiv a_k \pm.. 2024. 8. 1. [C++로 배우는 알고리즘과 자료구조 심화] Day 15: 다차원 동적 계획법 (Multidimensional DP) 다차원 동적 계획법 (Multidimensional DP)다차원 동적 계획법은 상태를 여러 차원으로 정의하여 문제를 해결하는 기법입니다. 이 방법은 주로 상태를 더 구체적으로 나누어 관리할 때 사용됩니다. 예를 들어, 3차원 DP는 dp[i][j][k]와 같이 상태를 표현할 수 있습니다.문제 예시: 3차원 DP를 이용한 여행 계획주어진 도시들을 방문하면서 최소 비용으로 여행 계획을 세우는 문제를 해결하기 위해 3차원 DP를 사용할 수 있습니다. 여기서 dp[i][j][k]는 i번째 도시를 j번째 날에 k번 방문했을 때의 최소 비용을 의미합니다. 다차원 DP 구현다음은 C++로 3차원 DP를 사용하여 문제를 해결하는 예제입니다. 문제 정의주어진 도시들의 방문 비용이 포함된 cost 행렬이 있습니다. 여행자.. 2024. 8. 1. [C++로 배우는 알고리즘과 자료구조 심화] Day 12: 네트워크 흐름 알고리즘 (Ford-Fulkerson, Edmonds-Karp) 네트워크 흐름 알고리즘네트워크 흐름 알고리즘은 유량 네트워크에서 최대 유량을 찾는 데 사용됩니다. 유량 네트워크는 용량이 지정된 방향성 그래프로, 네트워크의 한 정점에서 다른 정점으로 흐르는 유량을 나타냅니다. 오늘은 Ford-Fulkerson 알고리즘과 Edmonds-Karp 알고리즘에 대해 학습하겠습니다.Ford-Fulkerson 알고리즘Ford-Fulkerson 알고리즘은 증가 경로(augmenting path)를 반복적으로 찾아 최대 유량을 계산하는 알고리즘입니다. 이 알고리즘은 DFS를 사용하여 증가 경로를 찾습니다.Ford-Fulkerson 알고리즘의 시간 복잡도:최악의 경우: (O(E \times f)), 여기서 (E)는 간선의 수, (f)는 최대 유량입니다.Ford-Fulkerson 알고리.. 2024. 8. 1. [C++로 배우는 알고리즘과 자료구조 심화] Day 13: 이분 그래프 매칭 (Hopcroft-Karp 알고리즘) 이분 그래프 매칭 (Bipartite Graph Matching)이분 그래프 매칭은 두 개의 분리된 정점 집합을 가지는 그래프에서 최대 매칭을 찾는 문제입니다. 이분 그래프 매칭은 네트워크 플로우, 작업 할당 문제, 매칭 문제 등 다양한 응용 분야에서 사용됩니다.Hopcroft-Karp 알고리즘Hopcroft-Karp 알고리즘은 이분 그래프에서 최대 매칭을 찾는 효율적인 알고리즘입니다. 이 알고리즘은 BFS와 DFS를 결합하여 구현됩니다.Hopcroft-Karp 알고리즘의 시간 복잡도:(O(\sqrt{V}E)), 여기서 (V)는 정점의 수, (E)는 간선의 수입니다.Hopcroft-Karp 알고리즘 구현다음은 C++로 Hopcroft-Karp 알고리즘을 구현한 예제입니다. 그래프 클래스 정의#includ.. 2024. 8. 1. [C++로 배우는 알고리즘과 자료구조 심화] Day 10: 위상 정렬 (Topological Sorting) 위상 정렬 (Topological Sorting)위상 정렬은 유향 비순환 그래프(DAG, Directed Acyclic Graph)의 정점을 순서대로 나열하는 방법입니다. 이 순서는 모든 간선 (u, v)에 대해 정점 u가 정점 v보다 먼저 나오는 순서를 의미합니다. 위상 정렬은 주로 작업 스케줄링, 컴파일러에서의 심볼 테이블 생성 등에 사용됩니다.위상 정렬의 주요 특징DAG: 위상 정렬은 반드시 유향 비순환 그래프에서만 가능합니다.순서: 정점 u에서 정점 v로 가는 모든 경로에 대해 정점 u는 정점 v보다 먼저 나옵니다.위상 정렬의 구현 방법Kahn's Algorithm: 진입 차수를 이용한 위상 정렬DFS 기반 알고리즘: 깊이 우선 탐색을 이용한 위상 정렬Kahn's AlgorithmKahn's Al.. 2024. 8. 1. 이전 1 2 3 4 다음 반응형
